Ordine e Caos: cosa ci insegnano i modelli matematici?

In quanto segue proverò a mostrare che, anche cercando le proprie certezze nel mondo esatto e razionale della matematica, non si può sfuggire a quella continua tensione tra ordine e caos che domina l’universo degli esseri viventi.

Tra il XIX e il XX secolo il matematico David Hilbert lavorò a uno dei programmi più ambiziosi della storia della matematica: rifondare l’intero edificio delle proposizioni matematiche in modo che queste fossero tutte deducibili da un numero finito di assiomi non contraddittori, a cominciare dall’aritmetica.

Hilbert fu un personaggio eccentrico: donnaiolo impenitente, nei caffè e nei ristoranti chiedeva in prestito alle signore dei tavoli vicini il loro boa di piume di struzzo per ripararsi dagli spifferi, era solito presentarsi all’Università con i pantaloni strappati e, dovendo pronunciare un’orazione funebre al funerale di un suo studente particolarmente brillante, dimostrò un teorema sulle funzioni di variabile complessa.

Sulla sua lapide a Göttingen si legge l’epitaffio: “dobbiamo sapere, sapremo”, tratto da una frase pronunciata da Hilbert durante una conferenza. Per ironia della sorte, proprio il giorno prima di quella conferenza, Kurt Gödel enunciò il suo teorema di incompletezza, mandando in frantumi il sogno di Hilbert di fondare un edificio logico coerente e completo, in cui tutte le asserzioni del pensiero razionale matematico trovassero posto, discendendo da alcuni assunti fondamentali.

Quella “cattedrale della ragione” non avrebbe mai visto la luce. Alcune proposizioni matematiche erano destinate a restare indecidibili o si generavano antinomie che impedivano di considerare l’edificio logico matematico come non-contraddittorio.

Va detto, comunque, che anche se il “programma di Hilbert” fallì parzialmente, il suo contributo alla matematica moderna fu immenso e insostituibile, dal teorema di finitezza, all’analisi funzionale, alcuni risultati vennero poi utilizzati nella meccanica quantistica, a un contributo fondamentale per le equazioni di campo per la teoria della relatività generale di Einstein, a innumerevoli altri.

Il tentativo di stabilire una teoria dei fondamenti riguardò l’aritmetica, la geometria e la logica e molti logici e matematici dedicarono la loro vita a questo scopo. Frege, Peano, Russell, Hilbert e molti altri produssero lavori che sono pietre miliari nella storia del pensiero umano.

Tuttavia, ancor prima che Gödel enunciasse il suo teorema, già Bertrand Russell si era imbattuto in alcune difficoltà, ad esempio la “classe di tutte le classi” che contiene e non contiene se stessa come elemento, che sembravano sbarrare parzialmente la strada a questo progetto.

La scoperta delle geometrie non euclidee da parte di Lobacewski, Bolyai, Gauss, Klein e altri aveva anche messo in luce che non esisteva necessariamente una sola scelta del sistema assiomatico da cui dedurre l’edificio della geometria – e che quella euclidea non è l’unica possibile.

Altre geometrie possono nascere modificando o sostituendo parte degli assiomi. Queste geometrie uscirono definitivamente dall’empireo della astrazione matematica dopo che Einstein ebbe enunciato la teoria della relatività generale, ottenendone conferma sperimentale nel 1919.

Lo spazio “reale” del nostro universo non obbedisce infatti alle leggi della geometria euclidea, ma le linee più brevi tra due punti sono geodetiche, cioè linee “curve”, si deve inoltre parlare di spazio – tempo, ragionando in quattro dimensioni.

Per ciò che riguarda la relatività ristretta un modello applicabile solo localmente è dato dallo spazio – tempo “piatto” di Minkowski. Nella Relatività Generale lo spazio – tempo è una varietà riemanniana in cui la curvatura locale, e quindi le distanze tra i punti, è determinata dalla densità di massa, energia.

Il colpo mortale al progetto di creare un sistema formale completo e non contraddittorio che riguardasse la logica, l’aritmetica o la geometria fu dato, come si diceva, negli anni 30 del Novecento da Kurt Gödel.

Col suo teorema Gödel stabilì che in ogni sistema formale deduttivo e fondato su assiomi, come quello di cui si occupava Hilbert, nascono proposizioni antinomiche, paradossi, o proposizioni indecidibili, che possono essere risolte solo ampliando il sistema originario, e dunque creando un metalinguaggio, il quale, tuttavia, non farebbe che riproporre altre antinomie a un livello diverso di complessità.

Si darebbe così origine ad una regressione all’infinito di “matrioske”, di costruzioni logiche contenute una dentro l’altra, destinato a non avere mai fine. Gödel dette col suo teorema una svolta epocale al pensiero astratto e influenzò molte direttrici fondamentali della ricerca successiva.

In particolare, si pervenne ad una definizione rigorosa di “operazione effettivamente eseguibile”, una delle conquiste più significative della filosofia della matematica.

Un altro filosofo e logico che ebbe un’influenza determinante sulla filosofia della matematica del Novecento fu Ludwig Wittgenstein, il quale, nel Tractatus logico philosophicus e nelle opere successive, esplorò i confini del pensiero astratto e tentò di definire rigorosamente termini come “forma” o “struttura”, il modo in cui la forma del pensiero si lega al senso, i limiti entro i quali può operare il pensiero formale.

Anche se poi Wittgenstein finì col rinnegare molte delle osservazioni del Tractatus, alcune di esse ancora delimitano le frontiere del pensiero astratto e del pensabile, come paletti di confine.

Un’altra grande rivoluzione nella storia del pensiero matematico si produsse riguardo alla nozione di “modello matematico”.

Fino agli anni 20 del Novecento un modello matematico doveva ottemperare a tre condizioni fondamentali:
– individuare delle variabili di stato;
– determinare una legge di evoluzione del sistema studiato che, al trascorrere del tempo, dato uno stato iniziale, ne determinasse gli stati successivi;
– essere verificato dall’esperienza.

La terza caratteristica dei modelli matematici di “vecchio tipo” si è andata sempre più indebolendo.

Un modello matematico è oggi, come lo definisce nel suo testo La visione matematica della realtà Giorgio Israel “un pezzo di matematica applicato a un pezzo di realtà” e sempre più importante, agli occhi di chi crea modelli matematici, è divenuta la metafora che collega il modello a ciò che esso rappresenta, l’analogia e la forza descrittiva che ne derivano.

Inoltre, un singolo modello può descrivere una molteplicità di situazioni reali e una situazione reale è suscettibile di essere raffigurata da più modelli, che aiuteranno chi ne farà uso a coglierne differenti “significati” nascosti, a trarne diverse “interpretazioni”.

Infine, viene meno il predominio della meccanica e delle equazioni differenziali lineari nella costruzione di modelli, cioè la ricerca della regolarità e predicibilità deterministica del futuro di un fenomeno.

I modelli matematici non sono più utilizzati unicamente in fisica e, al più, in chimica, ma la loro massiccia applicazione si è estesa a discipline come la biologia, la sociologia, l’antropologia, la psicologia, l’economia, etc..

A questo proposito, negli anni 30 del Novecento Morgestern e Von Neumann tentarono una matematizzazione astratta e assiomatica dell’economia, ma dovettero ammettere negli anni 40 l’enorme difficoltà di un tentativo simile.

Con i modelli costituiti dalle equazioni predatore – preda di Volterra – Lotka e dal modello di battito del cuore di Van der Pol cominciò a trasformarsi profondamente il concetto stesso di modello matematico.

Ancora oggi i modelli matematici oscillano tra la pura percezione di una “analogia matematica” tra il modello e il fenomeno descritto, capace di svelarne alcuni significati nascosti, come farebbe l’esegesi di un testo ermetico, e modelli meccanicistici di vecchio tipo, è il caso di molti dei modelli basati sulla costruzione di automi o riguardanti l’intelligenza artificiale.

Come spesso avviene nella storia della Scienza, i sistemi deterministici fondati sulle equazioni differenziali e sulla fisica-matematica vennero per lungo tempo trascurati in seguito alla formulazione della teoria della Relatività, a vantaggio di modelli di tipo geometrico.

Si riscoprirono in seguito, negli anni 60 del Novecento, con le teorie del Caos, alcuni studi di fisica matematica, in particolare quelli di Poincaré di inizio secolo, che si avvalevano delle equazioni differenziali non-lineari per affrontare processi di tipo non deterministico.

Un altro problema che sottolineava la crisi del modello deterministico e meccanicistico era stato affrontato proprio da Poincaré ed era quello degli n corpi: se si volesse descrivere con un sistema di equazioni differenziali l’evoluzione di un sistema costituito da n corpi celesti, con n > 3, la complessità del sistema sarebbe tale da non consentire la calcolabilità delle soluzioni.

Il fatto che questa matematica sia stata “riscoperta” dipende in gran parte da applicazioni a campi diversi dalla fisica: meteorologia, genetica e dinamica delle popolazioni, teoria delle epidemie, etc..

In particolare, la matematica del Caos ebbe origine dagli studi di Poincaré sui sistemi deterministici. Nei casi che dettero origine alla teoria, perturbando di poco le condizioni iniziali le traiettorie seguono una legge di divergenza esponenziale producendo soluzioni radicalmente differenti. In sistemi del genere, se la conoscenza delle condizioni iniziali è incerta, la previsione appare impossibile.

Tali studi vennero ripresi da Lorenz negli anni 60 a proposito delle turbolenze in meteorologia. Si constatò che una piccolissima perturbazione lontano dall’equilibrio e dalla stabilità del sistema poteva determinare conseguenze di enorme portata; il battito d’ali di una farfalla che provoca un uragano.

Mentre le tendenze evolutive, le “traiettorie”, di un sistema che non si allontanano troppo dall’equilibrio finiscono col tornarvi, lontano dall’equilibrio vi sono punti di biforcazione in cui il sistema può prendere un’altra “strada evolutiva” e dirigersi rapidamente verso una morfologia radicalmente diversa.

Questi modelli e teorie si configurano come una sorta di darwinismo matematico o come una concezione neo-eraclitea del mondo: là dove le traiettorie si biforcano il sistema è “conteso” tra diverse morfologie possibili.

Si tratta anche, in un certo senso, di una rivincita del determinismo laplaciano, tanto che si è parlato di “approccio deterministico alla turbolenza”, che introdurrebbe l’Ordine nel Caos.

Lo studio delle traiettorie dei sistemi caotici appare impossibile con i tradizionali mezzi analitici o geometrici e fin dai primi studi di Lorenz si rivela essenziale l’impiego del computer.

Si abbandona, inoltre, ogni speranza di seguire l’evoluzione di singole traiettorie e acquista sempre maggiore importanza l’uso di metodi probabilistici; in chimica e biologia è fondamentale, a questo proposito, il contributo di Ilya Prigogine.

Trattare i fenomeni imprevedibili in tal modo, in una struttura deterministica, significa far intervenire in qualche modo l’ordine nel caos. Fenomeni imprevedibili che avrebbero fatto “esplodere” qualsiasi modello deterministico passato possono essere ora inseriti in un quadro coerente e globale. Alcuni sostengono che tutto ciò segnerà una rivoluzione nella Scienza moderna ancor più radicale di quella della meccanica quantistica.

L’incontro tra modelli analitici e quantitativi “alla Poincaré” e quelli di tipo più marcatamente geometrico “alla Enriquez”, volti ad enfatizzare le trasformazioni, dette poi origine alla teoria delle catastrofi di René Thom.

Lo studio delle singolarità delle funzioni differenziabili a più variabili, che originariamente riguardava la sola matematica, venne utilizzato per descrivere le discontinuità di un sistema reale, la forma che assume il passaggio da una configurazione strutturalmente stabile ad un’altra configurazione, anch’essa stabile.

Anche al centro di questa teoria c’è l’idea di biforcazione. La teoria si propone di fornire immagini geometriche dei cambiamenti “catastrofici” e di classificarne tutti i tipi possibili. Il risultato fondamentale è il teorema che dimostra che le tipologie di catastrofe in uno spazio a quattro dimensioni, ad esempio lo spazio – tempo, sono sette.

La descrizione qualitativa fornita da queste immagini geometriche è poco predittiva dal punto di vista quantitativo ma ambisce a fornire il “significato filosofico” del fenomeno studiato, una sorta di ermeneutica della realtà.

Thom intese le sue teorie come un recupero della antica filosofia naturale e come una rivalutazione dell’aristotelismo, accompagnando tutto ciò con una polemica nei confronti di una scienza intesa come mero riduzionismo e metodo sperimentale. Sostenne che la matematica fornisce modelli mentali e immagini dei fenomeni e che, se è vero che essi aiutano poco dal punto di vista quantitativo, sono una fonte di “comprensione ontologica”.

La teoria venne applicata ad un vasto insieme di fenomeni naturali e sociali, alla psicologia, alla formazione del linguaggio, alle rivolte nelle carceri, al sistema nervoso umano, etc..

Il pericolo di questo neoplatonismo è che, dopo aver “incollato” un pezzo di matematica su un pezzo di realtà, si utilizzino risultati matematici per trarne conclusioni ontologiche, con il risultato che una conoscenza del tutto soggettiva conduce a conclusioni metafisiche sull’universo.

Citiamo, infine, la teoria dei frattali di Mandelbrot, nella quale si fornisce un metodo per costruire modelli geometrici di oggetti alquanto irregolari, ad esempio le coste della Gran Bretagna, rese ai nostri occhi ancor più irregolari dal Brexit, e una tecnica per “misurarli”, con una opportuna nozione di dimensione e misura.

Questa teoria è stata applicata soprattutto alla forma dei cosiddetti “attrattori strani” della matematica del Caos, a processi stocastici come i moti browniani, alla teoria degli errori, alla distribuzione delle galassie, a problemi di gerarchia e distribuzione e i modelli frattali ottenuti col computer di vari fenomeni naturali, e, opportunamente colorati, sono anche stati utilizzati in arte.

L’abitudine crescente a sovrapporre pezzi di matematica a porzioni di realtà ci sta facendo abbandonare l’ingenua visione positivista di un mondo “scritto nel linguaggio della matematica”, che deve essere solo decodificato, a favore di una visione secondo la quale si tratta di sovrapporre più “linguaggi” alle realtà studiate, ognuno dei quali stabilisce un’analogia matematica tra modello e realtà ed evidenzia una “forma” dei fenomeni che altrimenti non avremmo scorto. Ricorda quello che avviene nei test in cui vengono interpretate le macchie di Rorschach.

Resta tuttavia aperto il problema se i modelli matematici abbiano o meno una valenza ontologica, cioè se le forme e le proprietà che scorgiamo grazie ad essi siano proprietà del mondo o piuttosto delle nostre descrizioni di esso e dell’intento conoscitivo che sottende quelle descrizioni.

Un insegnamento che si può senz’altro trarre dalla storia della matematica tra il XIX e il XX secolo è che, se è fallito ogni tentativo di costruire una “cattedrale della ragione”, una sorta di versione moderna degli Elementi di Euclide, che mostrasse ogni proposizione della matematica come deducibile da pochi assiomi fondamentali, è anche emerso che le realtà più caotiche, apparentemente più irriducibili a un modello interpretativo/predittivo “semplice”, sono tuttavia suscettibili di spiegazioni matematiche.

Come se anche le vette più astratte della matematica fossero governate da quella legge di alternanza tra luce e oscurità, Ordine e Caos, che regola le nostre vite e l’alternarsi delle stagioni, che Jung chiamò “legge di enantiodromia”, quella stessa legge, μηδεν ἄγαν, “nulla di troppo”, che era scolpita sul frontone del tempio di Apollo a Delfi accanto al socratico γνῶθι σεαυτόν, “conosci te stesso”.

Termino con questo aforisma di William James, da lui scritto nel 1890, eppure attualissimo:

La vita concreta e quella speculativa dell’intera specie, così come quella dei singoli individui, dipende dalla selezione operata dalla direzione abituale della loro attenzione… ognuno di noi sceglie, letteralmente, quale tipo di universo gli apparirà davanti e, quindi, in quale tipo di universo vuole vedersi abitare.

È curioso come questo aforisma assomigli come una goccia d’acqua agli insegnamenti sciamanici che Don Juan impartisce a Castaneda in Una realtà separata:

Don Juan: “Un Guerriero è consapevole che il mondo cambierà non appena smetterà di parlare con sé stesso, e deve essere preparato a quel colpo formidabile”

Castaneda: “Cosa intendi dire, Don Juan?”

Don Juan: “Il mondo è questo o quello o è così e così solo perché diciamo a noi stessi che quello è il modo in cui è. Se smettessimo di dire a noi stessi che il mondo è così e così, il mondo cesserebbe di essere così e così. In questo momento non penso che tu sia pronto per un colpo così importante; perciò devi iniziare lentamente a disfare il mondo”.